Methode voor het schalen van alle oppervlakken

Probeer maar eens een willekeurig voorwerp groter of kleiner te maken: dat lukt meestal alleen door het flink uit te rekken, te verfrommelen of anderszins van vorm te veranderen. Iets van grootte veranderen zonder dat het van vorm verandert heet schaling; de wiskundige term is dilatatie. Het kan belangrijke toepassingen hebben in de techniek en de geneeskunde - denk bijvoorbeeld aan stents die in slagaders worden geplaatst. Het merendeel van de huidige mechanismen voor schaling zijn maar geschikt voor een beperkt aantal vormen, voornamelijk bollen of bolvormige oppervlakken. Een bekend voorbeeld is het kinderspeelgoed op basis van Hoberman’s sphere, dat je kunt induwen en uitvouwen met behulp van scharnieren. Het nadeel van zo’n mechanisme is dat de onderdelen waarmee ze uitzetten en inkrimpen – de scharnieren in dit geval – onder een hoek bewegen die meestal loodrecht op het oppervlak van het voorwerp staat. Gevolg is dat er delen aan de binnen- of buitenkant uitsteken als het object van vorm verandert. Voor veel toepassingen is dat verre van ideaal: in het geval van de stents in de slagader zou dat de doorstroming van bloed belemmeren.

Triangulatie + pantograaf = schaling

Freek Broeren en Werner van de Sande, onderzoekers van de afdeling Precisie en Microsysteemtechniek (PME) van de TU Delft, hebben een methode bedacht om schaling te kunnen ontwerpen. Daarbij maken ze gebruik van triangulatie: het visualiseren van een gekromd oppervlak door middel van driehoeken. Dit is een veelgebruikte manier om 3D-modellen op een computer weer te geven, omdat dat minder rekenkracht kost. Ze combineren deze 21e-eeuwse vindingrijkheid met een 17e-eeuwse pantograaf: een apparaat dat voor het eerst in 1653 in de literatuur voorkwam. Het heeft de vorm van een parallellogram en werd in het verleden veel gebruikt om tekeningen op te schalen. Broeren en Van de Sande gebruikten het principe van de pantograaf van Sylvester, een specifiek mechanisme dat gebruikt kan worden om driehoeken te schalen.

“De eerste stap in onze methode is het oppervlak van het object in driehoeken te verdelen”, vertelt Broeren. “Vervolgens vervangt een speciaal algoritme elk van die driehoekige oppervlakken door een pantograaf, op zo’n manier dat elke driehoek maar één richting uit kan bij het schalen. Dat betekent dat de driehoeken niet met elkaar botsen tijdens het schalen en dat de beweging plaatsvindt in hetzelfde vlak als het oppervlak van het object. In theorie kunnen we hiermee objecten van hun volledige grootte tot één punt schalen”, aldus Broeren.